teoria geométrica de medidas

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Ementa

Revisão de teoria da medida: suporte e bacia de medidas, pontos de densidade, continuidade absoluta e mudança de variáveis. Teoremas de cobertura de Vitali e de Besicovitch, diferenciação de Radon.
Medida de Hausdorff, dimensão de Hausdorff e Minkowski e exemplo de fractais, técnicas de cálculo de dimensão de Hausdorff, projeções, produtos e interseções, dimensão de Hausdorff (Teorema de Mastrand).
Fórmulas da área e da coárea, funções Lipschitz e funções BV, Teorema de Rademacher; funções de Sobolev, desigualdades de Sobolev.

Bibliografia

Principal:

Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015.
Falconer, Kenneth Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. Second edition. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ, 2003.

Complementar:

Mattila, Pertti, Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Giusti, Enrico Minimal surfaces and functions of bounded variation. Monographs in Mathematics, 80. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984.

Caso linear

Fórmula de área

Seja L \coloneqq f \colon \RR^n \to \RR^m linear, n \leq m. Lembrando:

\begin{align*} \int_A Jf \;dx &= \int_{\RR^m} \underbrace{\Hmeas[0](A \cap f^{-1}\{ y \})}_{\substack{\text{se for }\infty,\\L \text{ não é injetivo}}} \;d\Hmeas[n](y)\\ \iff \jacobian{L} \Lmeas(A) &= \Hmeas[n](L(A)) \end{align*}

Vamos lembrar também do seguinte teorema:

Teorema (1.30, Differentiation of Radon measures).

Let \mu,\nu be Radon measures on \RR^n with \nu \ll \mu. Then

\begin{equation*} \nu(A) = \int_A D_{\mu}\nu \;d\mu \end{equation*}

for all \mu-measurable sets A \subseteq \RR^n.

Demonstração (da fórmula de área).

Podemos supor L injetiva. Se L não for injetiva, então \jacobian{L} = \lvert \det S \rvert = 0 e \dim L(\RR^n) \leq n - 1, logo \Hmeas[n](L(A)) = 0.

\begin{align*} \frac{\Hmeas[n](L(B(x,r)))}{\Lmeas(B(x,r))} &= \frac{\Lmeas[n](O^{*}(L(B(x,r))))}{\Lmeas(B(x,r))} \\ &= \frac{\Lmeas[n](S(B(x,r)))}{\Lmeas(B(x,r))} \\ &= \frac{\Lmeas[n](S(B(1)))}{\alpha(n)} \\ &= \lvert \det S \rvert = \jacobian L. \\ \end{align*}

Seja \nu(A) = \Hmeas[n](L(A)). ( \nu = {L^{-1}}_*\Hmeas[n]|_{L(\RR^n)} )

\nu é Radon e tal que \nu \ll \Lmeas.

\begin{equation*} (D_{\Lmeas}\nu)(x) = \lim_{r \to 0}\frac{\nu(B(x,r))}{\Lmeas(B(x,r))} = \jacobian L. \end{equation*}

Logo pelo teorema de diferenciação, para todo os boréis B \subseteq \RR^n vale

\begin{equation*} \Hmeas[n](L(B)) = \nu(B) = \jacobian L \Lmeas (B). \end{equation*}

Como as duas medidas são regulares, o resultado também vale para todos os conjuntos.

Fórmula de coárea

Seja L \coloneqq f \colon \RR^n \to \RR^m linear, n \ge m. Lembrando:

\begin{align*} \int_A Jf \;dx &= \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap f^{-1}\{ y \}) \;dy\\[10pt] \jacobian{L} \Lmeas(A) &= \cdots \end{align*}

Para fazer sentido, precisamos mostrar que q\colon y \mapsto \Hmeas[n - m](A \cap f^{-1}\{ y \}) é \Lmeas[m]-mensurável.

Demonstração.

\dim L(\RR^n) < m

Nesse caso, para \Lmeas[m]-q.t.p. y \in \RR^m temos A \cap L^{-1}\{ y \} = \varnothing, portanto q é nula q.t.p.. Além disso, escrevendo L = S \circ O^*, devemos ter \det S = 0.
Se P é uma projeção ortogonal, segue por Fubini que

\begin{align*} \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap P^{-1}\{ y \}) \;d y &= \int_{\RR^m} \Lmeas[n - m](A \cap P^{-1}\{ y \}) \;d \Lmeas[n](y) \\ &= \Lmeas[m](A) \end{align*}
\dim L(\RR^n) = m

Seja L = S \circ O^*.

Afirmação.
Podemos escrever O^* = P \circ Q onde P \colon \RR^n \to \RR^m é uma projeção ortogonal e Q \colon \RR^n \to \RR^n é ortogonal.

De fato, seja Q qualquer mapa ortogonal tal que

\begin{equation*} Q^* \colon (x_1,\dots,x_m,0,\dots,0) \mapsto O(x_1,\dots,x_m) \end{equation*}

e seja

\begin{equation*} P^*(x_1,\dots,x_m) = (x_1,\dots,x_m,0,\dots,0) \end{equation*}

então O = Q^* \circ P^* \implies O^* = P \circ Q.
1. Note que (S^{-1}_*\Lmeas[m])(A) = \Lmeas[m](S(A)) = \jacobian S \Lmeas[m](A) = \jacobian L \Lmeas[m](A).
  (por exemplo, pela fórmula de área).
2. Como P é projeção ortogonal,
  
  \begin{align*} \Lmeas(A) = \Lmeas(Q(A)) &= \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](Q(A) \cap P^{-1}\{ y \}) \;d y\\ &= \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap (P \circ Q)^{-1}\{ y \}) \;d y\\ &= \jacobian{L}^{-1} \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap (O^*)^{-1}\{ y \}) \;d S^{-1}_*\Lmeas[m](y)\\ &= \jacobian{L}^{-1} \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap (S \circ O^*)^{-1}\{ y \}) \;dy\\ &= \jacobian{L}^{-1} \int_{\RR^m} \Hmeas[n - m](A \cap L^{-1}\{ y \}) \;dy \end{align*}

Funções Lipschitz

Extensão

Teorema (Extensão de funções Lipschitz).

Suponha que A \subseteq \RR^n e f \colon A \to \RR^m é Lipschitz. Então existe uma extensão \tilde f \colon \RR^n \to \RR^m com constante de Lipschitz \Lip(\tilde f) \leq \sqrt{m}\Lip (f).

Nota

De fato, pode-se provar que existe uma extensão com a mesma constante de Lipschitz.

Demonstração.

Vamos começar com o caso f \colon A \to \RR. (A \neq \varnothing).

Nesse caso, a extensão é intuitiva: faz um cone cair sobre a função no ponto.

\begin{equation*} \tilde f (x) = \inf \big\{ f(a) + \Lip(f)|x - a| : a \in A \big\}. \end{equation*}

Note que \tilde f extende f, pois se a \in A então para todo y \in A vale

\begin{equation*} \tilde f(a) \le f(a) \le f(y) + \Lip(f) \lvert a - y \rvert. \end{equation*}

Al Além disso, f é Lipschitz contínua, pois se x,y \in \RR^n temos

\begin{align*} \tilde f(x) &\leq \inf \big\{ f(a) + \Lip(f)(|x - y| + \lvert y - a \rvert) : a \in A \big\}\\ &= \tilde f(y) + \Lip(f) \lvert x - y \rvert. \end{align*}

trocando x por y, obtemos \lvert \tilde f(x) - \tilde f(y) \rvert \leq \Lip \lvert x - y \rvert.

Agora, para o caso geral, sejam \tilde f_k extensões de f_k para 1 \leq k \leq m. Definindo \tilde f = (\tilde f_1,\dots, \tilde f_m), temos que

\begin{equation*} \lvert \tilde f(x) - \tilde f(y) \rvert ^2 = \sum_{i = 1}^m \lvert \tilde f_i(x) - \tilde f_i(y) \rvert^2 \leq m\Lip(f)^2 \lvert x - y \rvert^2. \end{equation*}

Diferenciabilidade

Definição.

Dizemos que f \colon \RR^n \to \RR^m é diferenciável no ponto x \in \RR^n se existe um mapa linear L \colon \RR^n \to \RR^m tal que \lim_{y \to x}\frac{\lvert f(y) - f(x) - L(y - x) \rvert}{\lvert x - y \rvert} = 0, ou seja,

\begin{equation*} f(y) = f(x) + L(y - x) + o(\lvert x - y \rvert) \quad\text{ quando }\; y \to x. \end{equation*}

Quando existe, a derivada é única, e denotamos Df(x) = L.

Teorema (Rademacher).

Seja f \colon \RR^n \to \RR^m uma função localmente Lipschitz. Então f é diferenciável \Lmeas[n]-q.t.p..

Teorema (Diferenciação de Lebesgue).

O teorema acima vale para n = m = 1. (pffff. Grande coisa, Lebesgue).

Demonstração (do caso \RR \to \RR).

A primeira coisa a notar é que podemos sem perda de generalidade assumir que f \colon \RR \to \RR é crescente e invertível: existe C = \Lip(f) + 1 tal que g \coloneqq f + Cx é bijetora.

Seja \mu = f^{-1}_*\Lmeas[1]. Note que \mu([a,b]) = \Lmeas[1]([f(a),f(b)])) = f(b) - f(a). Além disso, temos \mu \ll \Lmeas[1], e de fato, \mu \leq \Lip(f) \Lmeas[1].

Agora, poderíamos usar diferenciação de medidas: D_{\Lmeas[1]}\mu existe q.t.p.. Na verdade, tem um detalhe, pois isso nos daria a derivada simétrica. Porém, a mesma demonstração funciona para intervalos [x,x + r] ou [x - r,x] em vez de [x - r, x + r] em \RR. Essas versões adaptadas mostram que os limites laterais existem.

Demonstração (Do caso geral).

Podemos assumir m = 1 e que f é globalmente Lipschitz. Dado v \in \RR^n, defina

\begin{gather*} \ldiff f(x) \coloneqq \liminf_{t \to 0}\frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\\ \udiff f(x) \coloneqq \limsup_{t \to 0}\frac{f(x + tv) - f(x)}{t} \end{gather*}

que são mensuráveis. Seja \diff f(x) = \ldiff f(x) = \udiff f(x) onde concordarem, e

\begin{equation*} A_v = \{ x : \ldiff f (x) < \udiff f (x)\} \end{equation*}

os pontos onde \diff não existe. Note que A é mensurável.

Dados x,v seja \phi\colon \RR \to \RR, \phi(t) = f(x + tv) e L_{x,v} = \{ x + tv : t \in \RR \}. O teorema de diferenciação de Lebesgue nos diz que \Hmeas[1](A_v \cap L_{x,v}) = 0 para todo x. Assim, por Fubini, \Lmeas(A_v) = 0.

Nota

Até então, mostramos que dados enumeráveis \{ v_i \}, existe um conjunto de medida total A onde D_{v_i}f existe para todo i. Falta mostrar que existe um A de medida total no qual existe D_{v}f para todo v \in \RR^n.

Por brevidade, sejam \partial_i f = D_{e_i}f. Seja A_0 um conjunto de medida total onde existe

\begin{equation*} \grad f \coloneqq (\partial_1 f,\dots,\partial_n f) \end{equation*}

Afirmação.

Fixado v \in \RR^n, vale

\begin{equation*} \diff f(x) = v \cdot \grad f (x) \quad \text{ para }\Lmeas\text{-q.t.p. }x. \end{equation*}

Escrevamos v = (v_1,\dots,v_n). Se \zeta \in C_c^{\infty}(\RR^n), então por mudança de variáveis

\begin{align*} \int \left[\frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\right]\zeta(x) \;dx &= -\int f(x)\left[\frac{\zeta(x) - \zeta(x - tv)}{t}\right] \;dx. \end{align*}

Além disso,

\begin{equation*} \left|\frac{f(x + tv) - f(x)}{t}\right|\zeta(x) \le \Lip(f) \lvert v \rvert \zeta(x) \end{equation*}

portanto (pelo TCD) podemos passar o limite t \to 0 para dentro e obter

\begin{align*} \int \diff f(x)\zeta(x) \;dx &= -\int f(x)\diff\zeta(x) \;dx\\ &= - \sum_{i = 1}^n v_i \int f(x)\partial_i \zeta (x) \;dx \\ &= \sum_{i = 1}^n v_i \int \partial_i f(x)\zeta (x) \;dx \\ &= \int (v \cdot \grad f(x))\zeta (x) \;dx. \end{align*}

Como isso vale para toda \zeta, provamos a afirmação.

Nota

Sejam \phi, \varphi localmente integráveis em \RR^n e \mu uma medida Radon. Suponha que para toda \zeta \in C_c^{\infty}(\RR^n), vale

\begin{equation*} \int \phi \zeta \;d\mu = \int \varphi \zeta \;d\mu. \end{equation*}

Afirmamos que \phi \stackrel{\circ}{=}\varphi. De fato, seja A = \{ \phi > \varphi \}. Como \varphi e \phi são mensuráveis, A é mensurável. Seja A_N = A \cap B(N). Como \mu é Radon, existem fechados F_n \subseteq A_N e abertos U_n \supseteq A_N (os quais podemos supor limitados) tais que \mu(U_n \setminus F_n) \to 0.

Usando o fato de \varphi e \phi serem integráveis em limitados e o teorema da convergência dominada, existe um n_0 tal que

\begin{equation*} \int_{U_{n_0} \setminus F_{n_0}} |\phi - \varphi| \;d\mu < \varepsilon \quad \text{ e }\quad \mu(U_{n_0} \setminus F_{n_0}) < \varepsilon. \end{equation*}

A partir de agora chamaremos U = U_{n_0} e F = F_{n_0}. Pela existência de bump functions (ver prop. 2.25 do John M. Lee) existe uma \zeta \in C^{\infty}, 0 \leq \zeta \le 1 tal que \zeta|_F = 1 e \supp \zeta \subseteq U (como U é limitado, de fato \zeta \in C^{\infty}_c).

Sabemos que

\begin{equation*} \int_F (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu + \int_{U \setminus F} (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu = \int_U (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu = \int (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu = 0. \end{equation*}

Como \lvert \zeta \rvert \le 1, temos

\begin{equation*} \left|\int_{U \setminus F} (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu\right| < \varepsilon \end{equation*}

logo

\begin{equation*} \int_F (\phi - \varphi)\zeta \;d\mu < \varepsilon. \end{equation*}

como \phi - \varphi > 0 e \zeta = 1 em F, pela desigualdade de Markov para todo \alpha > 0 \mu(\{ x \in F : (\phi - \varphi)(x) \ge \alpha \}) \le \frac{\varepsilon}{\alpha}. Mas \mu(A_N \setminus F) < \varepsilon, logo

\begin{equation*} \mu(\{ x \in A_N : (\phi - \varphi)(x) \ge \alpha \}) \le \frac{\varepsilon}{\alpha} + \varepsilon. \end{equation*}

O conjunto na esquerda não depende de \varepsilon, portanto para cada \alpha > 0 fixo, fazendo \varepsilon \to 0,

\begin{equation*} \mu(\{ x \in A_N : (\phi - \varphi)(x) \ge \alpha \}) = 0. \end{equation*}

Agora basta notar que

\begin{equation*} A_N = \bigcup_{i = 1}^{\infty} \{ x \in A_N : (\phi - \varphi)(x) \geq 1/i \} \end{equation*}

portanto \mu(A_N) = 0, o que implica \mu(A) = 0. Repetindo o argumento para B = \{ \varphi - \phi > 0 \}, obtemos \varphi \stackrel{\circ}{=} \phi.

Para concluir, seja \{ v_i \}_k^{\infty} um conjunto enumerável denso de \partial B(1). Como mencionamos, existe um conjunto de medida total A_1 tal que D_{v_i}(x) existe para todos i \in \NN, x \in A_1. Seja A = A_0 \cap A_1.

Dado x \in A, afirmamos que f é diferenciável em x. De fato, sendo

\begin{equation*} Q(v,t) = \frac{f(x + tv) - f(x)}{t} - v \cdot \grad f(x) \end{equation*}

temos a estimativa

\begin{align*} \lvert Q(v,t) - &Q(w,t) \rvert \\ &\leq \left\lvert \frac{f(x + tv) - f(x + tw)}{t} \right\rvert + |v-w|\cdot |\grad f(x)|\\ &\le (1+\sqrt n)\Lip(f)|v-w|\\ &< C|v-w|.\\ \end{align*}

Dado \varepsilon > 0, seja N suficientemente grande de forma que para todo v \in \partial B(1), existe k_v \leq N tal que \lvert v - v_{k_v} \rvert < \varepsilon / (2C).

Note que para todo i, temos \lim_{t \to 0}Q(v_i,t) = 0. Assim, existe \delta > 0 suficientemente pequeno de tal forma que t < \delta e i \le N implica |Q(v_i,t)| < \varepsilon / 2. Assim, para todo v \in \partial B(1) e t < \delta,

\begin{equation*} |Q(v,t)| \le \lvert Q(v,t) - Q(v_{k_v},t) \rvert + \lvert Q(v_{k_v},t) \rvert < \varepsilon. \end{equation*}

Ou seja, para todo y \in B(x,\delta), colocando v = \frac{y - x}{\lvert y - x \rvert} \in B(1) e t = \lvert y - x \rvert < \delta,

\begin{equation*} \frac{\lvert f(y) - f(x) - (y - x)\cdot \grad f (x) \rvert}{|y - x|} = |Q(v,t)| < \varepsilon. \end{equation*}

Diferenciabilidade em conjuntos de nível

Teorema.

Seja f \colon \RR^n \to \RR^m localmente Lipschitz, e

\begin{equation*} Z \coloneqq \{ x : f(x) = 0 \}. \end{equation*}

Então Df(x) = 0 em \Lmeas-q.t.p. x \in Z.
Sejam f,g \colon \RR^n \to \RR^n localmente Lipschitz e

\begin{equation*} Y \coloneqq \{ X : g(f(x)) = x \}. \end{equation*}

Então Dg(f(x))Df(x) = I em \Lmeas-q.t.p. x \in Y.

Demonstração.

Assuma m = 1. Seja x \in Z um ponto de densidade de Z onde Df(x) existe; o conjunto de tais pontos tem medida total em Z.

Suponha a \coloneqq Df(x) \neq 0. Seja

\begin{equation*} S \coloneqq \left\{ v \in \partial B(1) : |v \cdot a| \geq \frac{\lvert a \rvert}{2} \right\}. \end{equation*}

Por definição, existe \delta > 0 tal que t < \delta implica

\begin{align*} \frac{|f(x + tv) - \overbrace{f(x)}^{0} - t v \cdot a|}{t} &< \frac{\lvert a \rvert}{2}\\[10pt] \implies \left|\frac{f(x + tv)}{t} - v \cdot a\right| &< \frac{\lvert a \rvert}{2}\\ \implies \left|\frac{f(x + tv)}{t}\right| &> |v \cdot a| - \frac{\lvert a \rvert}{2}\\ \end{align*}

ou seja, f(x + tv) \neq Z para todos t < \delta, v \in S , o que contradiz x ser um ponto de densidade.
Seja A = \{ x : Df(x) \text{ existe} \} e B = \{ x : Dg(x) \text{ existe} \}. Seja X = Y \cap A \cap f^{-1}(B).

Temos

\begin{equation*} Y - X \subseteq (\RR^n - A) \cup g(\RR^n - B) \end{equation*}

pois se x \notin f^{-1}(B), então f(x) \notin B e portanto x = g(f(x)) \notin g(B). Funções Lipschitz preservam conjuntos de medida nula, portanto \Lmeas(Y - X) = 0. Além disso, se x \in X então

\begin{equation*} Dg(f(x))Df(x) = D(g \circ f)(x) \end{equation*}

e como (g \circ f)(x) - x = 0 para todo x \in Y, então o passo 1 implica que

\begin{equation*} D(g \circ f) = I \quad\Lmeas \text{-q.t.p. em }Y. \end{equation*}

Fórmula de área

Lema.

Seja A \subseteq \RR^n um \Lmeas-mensurável. Então

f(A) é \Hmeas[n]-mensurável,
o mapa y \mapsto \Hmeas[0](A \cap f ^{-1}\{ y \}) é \Hmeas[n]-mensurável em \RR^n e
\begin{equation*} \int_{\RR^m} \Hmeas[0](A \cap f^{-1}\{ y \}) \;d\Hmeas[n] \le (\Lip(f))^n\Lmeas(A). \end{equation*}

Demonstração.

Sejam K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots \subseteq A compactos com \Lmeas(K_i) \to \Lmeas(A). Como são compactos, f(K_i) são \Hmeas[n]-mensuráveis, portanto f\left(\bigcup_{i = 1}^{\infty}K_i\right) = \bigcup_{i = 1}^{\infty}f(K_i) também é. Também temos

\begin{align*} \Hmeas[n]\left(f(A) - f\left(\bigcup_{i = 1}^{\infty}K_i\right)\right) &\leq \Hmeas[n]\left(f\left(A - \bigcup_{i = 1}^{\infty}K_i\right)\right)\\ &\le (\Lip(f))^n \Lmeas\left(A - \bigcup_{i = 1}^{\infty}K_i\right) = 0. \end{align*}
diádicos, seq crescente
TCM + Lipschitz

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