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para medidas não atômicas
Vamos relembrar a definição de átomo:
Um conjunto mensurável E é dito um átomo se |\mu|(E) > 0 e para todos A \subseteq E mensuráveis, |\mu|(A) = 0 ou |\mu|(A) = |\mu|(E). Uma medida é dita atômica se admite algum átomo.
O teorema abaixo foi provado por Sierpiński.
Se (\mathcal{B},\mu,M) é um espaço de medida finita não-atômico, então \mu(\mathcal{B}) = [0,\mu(M)].
Seja
Com f crescente, queremos dizer que s \le r implica f(s) \subseteq f(r). Dadas (f_1 \colon D_1 \to \mathcal{B}), (f_2 \colon D_2 \to \mathcal{B}) \in S, diremos que f_1 \leq f_2 se D_1 \subseteq D_2 e f_1(s) = f_2(s) para todo s \in D_1. Isso nos dá uma ordem parcial em S. Além disso, se N \subseteq S for totalmente ordenado, então podemos construir uma cota superior para N definindo f \colon D \to \mathcal{B} onde D é união de todos os domínios em N e f(s) = f_s(s), em que (f_s \colon D_s \to \mathcal{B}) \in N é qualquer função tal que s \in D_s.
O Lema de Zorn diz que existe um elemento maximal (f_{\max}\colon D_{\max} \to \mathcal{B}) \in S. Note que D_{\max} é fechado, pois se (x_n) \in D_{\max} tem limite x_n \nearrow x, então \mu\left(\bigcup_{i = 1}^{\infty}f_{\max}(x_n)\right) = x, e analogamente, se x_n \searrow x então \mu\left(\bigcap_{i = 1}^{\infty}f_{\max}(x_n)\right) = x.
Suponhamos que D_{\max} \neq [0,\mu(M)], e seja s \in [0,\mu(M)] \setminus D_{\max}. Como D_{\max} é fechado, de fato há um intervalo (s^-, s^+) \subseteq[0,\mu(M)] \setminus D_{\max}, onde s^- é o maior elemento de D_{\max} menor que s e s^+ é o menor elemento de D_{\max} maior que s. Como \mu é não-atômica, existe algum E \subseteq f(s^+) \setminus f(s^-) com medida 0 < \mu(E) < s^+ - s^-. Sendo F = f(s^-) \cup E, que tem medida s^- < \mu(F) < s^+, temos \mu(F) \notin D_{\max} e poderíamos definir um elemento de S estritamente maior, colocando f'(\mu(F)) = F e f'(x) = f_{\max}(x) se x \in D_{\max}. Isso contradiz a maximalidade de f_{\max}.
