Formas diferenciais

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Conteúdo

Programa

Superfícies:
- revisão de aplicações diferenciáveis entre espaços euclidianos, teoremas da aplicação inversa e implícita;
- definição e exemplos de superficies em \mathbb{R}^n;
- o espaço tangente;
- aplicações diferenciáveis entre superfícies.
Álgebra multilinear:
- orientação em espaços vetoriais;
- formas lineares;
- o produto exterior de formas lineares;
- a forma elemento de volume.
Integrais de superfícies:
- formas diferenciais em superfícies;
- superfícies orientáveis;
- a derivada exterior;
- integrais de superfícies.
Teoremas clássicos:
- superfícies com fronteira;
- o teorema de Stokes;
- o teorema da divergência;
- o teorema de Green;
- a fórmula do grau;
- o lema de Poincaré.

Bibliografia

M. P. do Carmo, Formas Diferenciais e Aplicações, SBM, Coleção Fronteiras da Matemática, 2015.
E. L. Lima, Curso de Análise, vol. 2, Projeto Euclides, IMPA, 1999.
M. Spivak, O Cálculo em Variedades, Coleção Clássicos da Matemática, Ed. Ciência Moderna, 2013.

Bibliografia complementar

D. Bachman, A geometric approach to differential forms, Boston: Birkhäuser, 2006.
J. R. Munkres, Analysis on Manifolds, Cambridge: Westview Press, 1991.

Aula produto exterior (cunha)

Cada k-forma alternada é como uma maneira distinta de medir o volume com sinal do paralelotopo formado por k vetores distintos no espaço.

Definição.

Uma função \omega \colon \overbrace{\mathbb{R}^n \times \cdots \times \mathbb{R}^n}^{k\text{ vezes}} \to \mathbb{R}^n é dita uma k-forma alternada se for k-linear e satisfazer \omega(v_1,\dots,v_k)=0 sempre que (v_1,\dots,v_k) for L.D..

Alguns resultados vistos em aula sobre formas:

Proposição.

Se \omega é uma n-forma alternada diferente de zero em \mathbb{R}^n, então duas bases

\begin{equation} \alpha = (u_1,\dots,u_n) \quad \text{e} \quad \beta = (v_1,\dots,v_n) \end{equation}

têm a mesma orientação se, e somente se,

\begin{equation} \omega(u_1,\dots,u_n) \cdot \omega(v_1,\dots,v_n) > 0, \end{equation}

ou seja, seus sinais coincidem.

O espaço das k-formas alternadas

Denotamos por \alt o espaço das k-formas alternadas em \RR^n, que é um espaço vetorial.

Proposição.

\begin{equation} \dim(\alt) = \binom{n}{k}. \end{equation}

Definição (Alternização).

Se \omega é uma k-forma alternada,

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